Vida de fractal

Per a la Teresa.

Sabies que la natura s’organitza seguint patrons? Avui et volem parlar dels fractals, unes formes que han captivat científics i artistes per igual. La seva estètica encisadora prové d’una regularitat profunda que s’amaga rere un aspecte aparentment caòtic. Tot i que ja se n’havia estudiat el comportament des de principis del segle XX, va ser Benoît Mandelbrot qui els va situar al centre de la recerca matemàtica i els va donar nom l’any 1975. Els fractals es caracteritzen per dues propietats essencials: l’autosimilitud, és a dir, la repetició d’un mateix patró a diferents escales, i una geometria extremadament complexa. Aquesta complexitat es pot mesurar mitjançant un indicador anomenat dimensió fractal, que ens ajuda a quantificar fins a quin punt un fractal omple l’espai i com varia la seva estructura segons l’escala. 

Un cub és un objecte matemàtic tridimensional que presenta autosimilitud exacta quan el mirem a diferents escales. Els matemàtics distingeixen diversos graus d’autosimilitud segons si aquesta repetició és més o menys perfecta. En el cas del cub, si reduïm a la meitat la longitud de cada costat, obtenim vuit cubs idèntics més petits que reprodueixen exactament la forma original. Com que treballem en tres dimensions, el factor de reducció (2) s’eleva a la potència 3: 2³ = 8, que és el nombre de subcubs que conformen, de manera autosimilar, el cub inicial.

La dimensió fractal es pot expressar com l’exponent al qual cal elevar el factor de reducció, en aquest exemple, el 2, per obtenir de nou la mateixa forma a una escala diferent. En el cas del cub, aquesta dimensió és un nombre enter: 3. Això revela que és una forma amb poca complexitat i, per tant, no és pròpiament un fractal. En canvi, els fractals reals presenten una dimensió que no és un nombre sencer, un indicador directe de la seva complexitat i irregularitat. Com més s’acosta aquest valor a un nombre enter, més “ple” és l’empaquetament d’una forma de dimensió inferior, per exemple, una superfície bidimensional, dins d’un espai de dimensió superior, com un volum tridimensional. 

El gran atractiu dels fractals és que reprodueixen bastant bé entitats físiques que trobem a la natura. Algunes d'elles, com les ones electromagnètiques, les fem servir contínuament, encara que no siguin visibles. De fet, les propietats dels fractals s'han aplicat al disseny d'objectes tan útils com les antenes receptores dels cotxes o els mòbils. I a més, tenen un indubtable efecte estètic per aquesta combinació d'irregularitat dins d'un patró.  

Els humans ens sentim embadalits per les subtils sorpreses que proporcionen diferents interpretacions d'un paisatge musical previsible, prefixat en una partitura de J.S. Bach. Som éssers vius conscients que busquem un control de l'entorn, sense sorpreses que són freqüentment hostils, per exemple, en forma de depredadors o d'accidents. Però apreciem les variacions que enriqueixen la nostra dieta, la dotació genètica dels nostres descendents gràcies a les trobades amoroses amb membres d'altres grups, i en última instància, les nostres vivències i records. De nou, trobem sentit a la combinació entre repetició i raresa que caracteritza la vida, i que hem vingut a anomenar biodiversitat. 

Els fractals han estat àmpliament usats en disseny visual i la seva potència estètica és innegable. A més de formes abstractes que reprodueixen patrons i variacions, ens meravella la seva capacitat de recrear formes que trobem a la natura, com els flocs de neu, les línies de la costa, les ramificacions de les arrels o de les branques dels arbres. Per aquest motiu, els fractals són utilitzats per construir mitjançant algoritmes, paisatges i escenografies en els entorns digitals de les pel·lícules. Són un bell exemple de la connexió entre matemàtiques i natura.  

Però una ment racional no es conforma amb contemplar patrons, sinó que s'esforça a comprendre les causes. La ciència es caracteritza per la cerca crítica de la comprensió del món mitjançant la contrastació d'hipòtesis amb observacions empíriques o experimentals. El físic Jorge Wagensberg es va emprar a fons per explicar per què trobem una sèrie de formes geomètriques àmpliament esteses en la natura, com l'esfera, l'hexàgon, l'angle, l'ona, la paràbola, l'espiral, l'hèlix, i els fractals. Segons Wagensberg, les formes fractals representen una manera d'explorar intensivament el medi, en particular per part de les entitats biològiques. Té sentit, però no deixa de ser una explicació descriptiva en la què podem aprofundir una mica més. 

Una de les claus per entendre la presència dels fractals a la natura és que el medi no és homogeni. Si ho fos, la millor forma d'explorar-lo seria un front que aniria avançant regularment ocupant l'entorn. Imaginem una forma inanimada, com un cristall de sal: creix amb autosimilitud a diferents escales en un medi homogeni, però no és un fractal perquè la seva geometria és simple: creix igual en totes direccions per que res l'hi impedeix, mentre hi hagi prou molècules de sal al seu abast.  

Vegem un altre exemple biològic, les arrels de les plantes. Apreciem fractalitat en les successives ramificacions que repeteixen el seu patró conforme l'arrel es ramifica i es fa més fina. Ho fa d'aquesta forma perquè les arrels van explorant un mitjà molt heterogeni, com és el sòl. Busquen l'aigua i els nutrients entre els intersticis de les pedres i els grumolls més consolidats del sòl.  

La repetició del patró de ramificació i l'autosimilitud fractal apareix perquè la restricció que posa el mitjà al creixement es manté a diferents escales espacials. L'arrel en el seu conjunt pot contemplar el sòl sobre el que creix com una sèrie de zones accessibles plenes de recursos, però estan immerses entre obstacles de pedres i arrels gruixudes. És un panorama similar al contemplat per les arrels fines, només que per a elles les zones amb recursos són mil·limètriques i qualsevol pedreta representa un gran obstacle.  

En les parts aèries dels vegetals, les branques també es ramifiquen buscant els serrells de llum. En contraposició, una planta que creix en un medi homogeni, com les que viuen en basses i tolls formen ramells d'arrels totes similars, són poc ramificades: no trobem gaire fractalitat en la seva disposició. 

Els patrons fractals de la natura en realitat sorgeixen de la tensió entre el medi i el propi objecte fractal: ecologia en estat pur. La autosimilitud entre escales apareix com una resposta comuna a l'heterogeneïtat del medi que manté les seves característiques a diferents escales. Per exemple, la força de l'aigua davant de la resistència de les roques de la costa, la radiació interceptada per les fulles inserides en les branques de la capçada d'un arbre, l'aigua oculta a terra i que és capturada per les arrels. Al seu torn, els éssers vius responen a aquesta heterogeneïtat d'acord amb les seves pròpies limitacions anatòmiques i físiques.  

Els patrons de ramificació d'arrels i branques o de creixement de les fulles estan normalment fixats genèticament. Per altra banda, les arrels molt fines s'acaben trencant fàcilment. És a dir, les entitats biològiques tenen constriccions pròpies, físiques o genètiques que fan que no puguin créixer de totes les formes possibles. Aquestes constriccions també es manifesten en la naturalesa històrica dels éssers vius: la forma que adquireix una arrel o una copa d'arbre reflecteix la història del seu creixement. Les ramificacions de primer ordre que veiem en un arbre corresponen a les primeres ramificacions de les tiges de l'arbre, quan pròpiament no s'havia desenvolupat la seva fractalitat.  

Així, en la fractalitat dels éssers vius es recull una instantània del procés de desenvolupament d'aquest ésser. I en aquest procés intervenen molts fets casuals que es donen amb certa probabilitat, és el que anomenem amb una certa estocasticitat. Un passejant que trenca una branca incipient, una rasa que deixa al descobert part d'una arrel o una pedra que es troba a la dreta o a l'esquerra de l'àpex de creixement de l'arrel. Tots aquests esdeveniments allunyen la forma fractal dels éssers vius de la perfecció formal matemàtica. De fet, Mandelbrot, el pare dels fractals, ja feia veure l'interès d'introduir la estocasticitat en l'anàlisi d'aquests objectes geomètrics. 

Com veiem, les condicions que generen fractalitat en la naturalesa són relativament restringides. No totes les formes que trobem són fractals, no sempre es produeix aquesta autosimilitud a diferent escala. Les petites variacions en el medi o en la història del creixement dels éssers vius fan que les formes fractals de la natura no siguin perfectes des del punt de vista matemàtic, ni tampoc mantinguin la seva autosimilitud de forma indefinida a qualsevol escala. De fet, una estimació de les variacions en la fractalitat de les formes naturals pot ser un indicador d'anomalies en el manteniment de les forces que generen la forma o de les constriccions que operen al llarg del procés de la seva generació. Una pèrdua de la fractalitat ens pot indicar una disminució de complexitat estructural i una menor resistència davant forces externes. En medicina s'utilitza la mesura de la fractalitat de les cavitats dins de certs ossos per valorar la osteoporosis.  

En ecologia s'utilitzen índexos de fractalitat com a mesura de l'estructura d'un paisatge, és a dir, de la "rugositat" de les seves taques, el que està relacionat amb la seva relació perímetre / superfície. Aquesta mesura ens indica la capacitat dels diferents tipus de taques d'interactuar a diferents escales entre si i amb la matriu del paisatge. És a dir, ens parla de l'àrea de contacte a través de la qual es poden produir els diferents fluxos ecològics (matèria, energia, però també dispersió d'organismes).  

Així, es pot valorar si la colonització d'un bosc en una matriu de camps agrícoles abandonats opera de manera similar al voltant d'una taca o en el conjunt d'un vessant, o si la fragmentació d'un bosc tropical reflecteix una forma jeràrquica, és a dir fractal, la construcció de vies d'accés.

Com és propi de la ciència, el més interessant no és quedar-se atònit davant els patrons que ens brinda la natura, sinó intentar comprendre les seves causes a partir d'una anàlisi racional que contrasta hipòtesis amb observacions i experiments. Sovint, en aquesta indagació les pistes bones apareixen quan es trenquen els patrons, ja que les causes que els ocasionen deixen de funcionar.  

Prospectar a quina escala desapareix la fractalitat en la naturalesa ens pot indicar un canvi substancial en les forces que operen en els subjectes ecològics. Analitzar les discrepàncies en la autosimilitud a diferents escales ens parla de les contingències històriques i de la multiplicitat de factors que interaccionen per constituir els sistemes ecològics. En tot cas, els fractals mostren una vegada més l'estreta relació entre les lleis matemàtiques i el funcionament de la natura. Així, l'impacte estètic dels patrons visuals fractals cobra més força amb la seva comprensió.