Fractal life
Fractals fascinate everyone who sees them. Why do we feel this sensation? And why do we often find them in nature?
For Teresa.
Fractals enjoy a certain charming for their aesthetics derived from regularity hidden under a seemingly irregular pattern. Actually, fractals are mathematical objects placed on the Mathematics agenda by Mandelbrot, who baptized them in 1975 —though mathematicians had been working on them since the beginning of the 20th century. This summer, in an presentation performed in the wonderful Pyrenean environment of Farrera Centre d'Art i Natura, the mathematician Francesc Mañosas defined them by two properties: self-similarity at different scales and complex geometry. This complexity can be estimated by means of an indicator, the so-called fractal dimension. A cube is a 3-dimensional mathematical object with exact self-similarity at a different scale —in fact, mathematicians recognize different types of more or less perfect self-similarity— because if we reduce by half each cube's side we obtain 8 identical smaller cubes. Since we are in three dimensions, we must raise the reduction factor of each side, 2, to dimension 3 to obtain the eight cubes that complete the initial cube in a self-similar way. The fractal dimension can be expressed as the power at which the factor that determines the reduction or scale is raised - in our example, 2 - to reproduce the same form on a larger scale (23 = 8). But a cube is a regular geometric object, with a fractal dimension of 3: it is not very complex, it would not be a fractal itself. In fractals, that dimension is not a whole number, which shows its complex nature. The closer you get to that whole number, the more complete the packing of the lower dimension shape, as a surface that is 2-dimensional, in the shape of the upper dimension, in our case a volume, which is 3-dimensional.
The great attraction of fractals is that they reproduce quite well physical entities that we find in nature. Some of them, like electromagnetic waves, are used continuously, although they are not visible. In fact, the properties of fractals have been applied to the design of objects as useful as the antennas of cars and mobiles. But fractals have an undoubted aesthetic effect because of that combination of irregularity within a pattern. As the cellist Gabrielle Deakin suggested in the aforementioned meeting in the Pyrenees, humans are fascinated by the subtle surprises that provide different interpretations of a predictable musical landscape, prefixed in a score by J. S. Bach. We are conscious living beings that seek control of the environment, without surprises that are frequently hostile, for example, in the form of predators or accidents. But we appreciate those variations that enrich our diet, the genetic cross-fertilization of our descendants thanks to loving encounters with members of other groups, and ultimately our experiences and memories. Once again, we find sense in the combination between repetition and rarity that characterizes life, something that call biodiversity.
Fractals have been widely used in visual, powerful design. In addition to abstract forms that reproduce patterns and variations, we wonder at their ability to recreate forms found in nature, such as snowflakes, shorelines, ramifications of roots or tree branches. For this reason, in the digital environments of films fractals are used to construct landscapes and scenography from algorithms. They are a beautiful example of the connection between mathematics and nature. But a rational mind is not satisfied to only contemplate patterns, without understanding of the causes. Science is characterized by the critical search for the comprehension of the world through the testing of hypotheses against empirical or experimental observations. The physicist Jorge Wagensberg was thoroughly engaged to explain why we find a series of widely extended geometric forms in nature, such as the sphere, the hexagon, the angle, the wave, the parabola, the spiral, the helix, and the fractals. According to Wagensberg, fractal forms represent a way to intensively explore the environment, in particular by biological entities. It makes sense, but it remains as a descriptive explanation in which we can think a bit more.
Fractals have been widely used in visual, powerful design. In addition to abstract forms that reproduce patterns and variations, we wonder at their ability to recreate forms found in nature, such as snowflakes, shorelines, ramifications of roots or tree branches.
One of the keys to understanding the presence of fractals in nature is that the environment is not homogeneous. The best way to explore a homogeneous environment would be a front regularly advancing. Think on an inanimate form, like a crystal of salt. It grows with self-similarity at different scales in a homogeneous medium, but it is not a fractal because its geometry is simple: it grows the same in all directions because nothing prevents it, while salt molecules remain available. Let's see another biological example, the roots of plants. We appreciate fractality in the successive branches that repeat their pattern as the root ramifies and becomes thinner. He does it that way because the roots are exploring a very heterogeneous environment, as is the soil. They look for water and nutrients between the interstices of the stones and the more consolidated chunks of the soil. The repetition of the branching pattern —fractal self-similarity— appears because the restriction that the environment puts on growth is maintained at different spatial scales. The root as a whole can contemplate the soil as a series of accessible areas full of resources, but that are immersed between obstacles of stones and thick roots. It is a panorama similar to that contemplated by the roots ends, only that for them the areas with resources are millimetric and any pebble represents a great obstacle. In contrast, a plant that grows in a homogeneous environment, such as those that live in ponds, form bunches of similar roots, barely branched: we do not find fractality in their disposition. In the aerial parts of the plants, the branches also ramify looking for light spots and the leaves tend to divide for that reason, besides to avoid overheating or breaking uncontrollably due to the wind.
The fractal patterns found in nature actually arise from the tension between the environment and the fractal object itself: pure ecology. The self-similarity between scales appears as a common response to the heterogeneity of the environment that maintains its characteristics at different scales (the strength of the water against the resistance of the rocks of the coast, the radiation intercepted by the leaves inserted in the branches of the tree, the water hidden in the ground that is captured by the roots). In turn, living beings respond to this heterogeneity according to their own anatomical and physical limitations. Branching patterns of roots and branches or leaf growth are usually genetically fixed; on the other hand, the very fine roots end up breaking easily. That is, biological entities have their own physical or genetic constraints that make them unable to grow in all possible ways. These constrictions also manifest themselves in the historical nature of living beings. The shape acquired by a root or a treetop reflects the history of its growth. The branches of first order that we see in a tree correspond to the first ramifications of the stems of the tree, when properly its fractality had not yet been developed. Thus, we see in the fractality of living beings a snapshot of the process of its development. In that process, there are many events that occur with a certain probability, which is what we call with a certain stochasticity. A walker who breaks an incipient branch, a ditch that destroy part of a root, or a stone found at one side of the apex of root growth. All these events move the fractal form of living beings away from formal mathematical perfection. In fact, Mandelbrot, the father of fractals, already showed the interest of introducing stochasticity in the analysis of these geometric objects.
In ecology, fractal indexes are used as a measure of the structure of a landscape, that is, of the "roughness" of its patches, which is related to its perimeter / surface relationship.
As we can see, the conditions that generate fractality in nature are relatively restricted. Not all forms that we find are fractals: self-similarity does not always occur on different scales. The small variations in the environment or in the history of the growth of living things make the fractal forms of nature not perfect from a mathematical point of view. For instance, they do not maintain self- similarity indefinitely at any scale. In fact, an estimate of the variations in the fractality of the natural forms can be an indicator of anomalies in the maintenance of the forces that generate the form, or the constraints that operate throughout the process of its generation. A loss of fractality can indicate a decrease in structural complexity and a lower resistance to external forces. In medicine, the measure of fractal cavities within certain bones is used to assess osteoporosis. In ecology, fractal indexes are used as a measure of the structure of a landscape, that is, of the "roughness" of its patches, which is related to its perimeter / surface relationship. This measure indicates the ability of different types of patches to interact at different scales between themselves and with the landscape matrix. That is, it tells us about the contact area through which different ecological flows (matter, energy, but also dispersal of organisms) can occur. In this way it can be assessed whether the colonization of a forest in a matrix of abandoned agricultural fields operates in a similar fashion around a patch or in the whole landscape, or if the fragmentation of a tropical forest reflects a hierarchical, fractal patterns of roads building.
As typical in science, the most interesting thing is not to be astonished by the patterns in nature, but to try to understand its causes from a rational analysis that contrasts hypotheses with observations and experiments. Often, in this inquiry, the good clues appear when the patterns are broken, since the causes stop working. Prospecting at which scale the fractality in nature disappears can indicate a substantial change in the forces that operate on ecological subjects. Analyzing the discrepancies in self-similarity at different scales tell us about the historical contingencies and the multiplicity of factors that interact to build the ecological systems. In any case, the fractals once again show the close relationship between mathematical laws and the functioning of nature, making the aesthetic impact of fractal visual patterns even more compelling.
Per a la Teresa.
Sabies que la natura s’organitza seguint patrons? Avui et volem parlar dels fractals, unes formes que han captivat científics i artistes per igual. La seva estètica encisadora prové d’una regularitat profunda que s’amaga rere un aspecte aparentment caòtic. Tot i que ja se n’havia estudiat el comportament des de principis del segle XX, va ser Benoît Mandelbrot qui els va situar al centre de la recerca matemàtica i els va donar nom l’any 1975. Els fractals es caracteritzen per dues propietats essencials: l’autosimilitud, és a dir, la repetició d’un mateix patró a diferents escales, i una geometria extremadament complexa. Aquesta complexitat es pot mesurar mitjançant un indicador anomenat dimensió fractal, que ens ajuda a quantificar fins a quin punt un fractal omple l’espai i com varia la seva estructura segons l’escala.
Primer, parlem de matemàtiques
Primer, parlem de matemàtiques
Un cub és un objecte matemàtic tridimensional que presenta autosimilitud exacta quan el mirem a diferents escales. Els matemàtics distingeixen diversos graus d’autosimilitud segons si aquesta repetició és més o menys perfecta. En el cas del cub, si reduïm a la meitat la longitud de cada costat, obtenim vuit cubs idèntics més petits que reprodueixen exactament la forma original. Com que treballem en tres dimensions, el factor de reducció (2) s’eleva a la potència 3: 2³ = 8, que és el nombre de subcubs que conformen, de manera autosimilar, el cub inicial.
La dimensió fractal es pot expressar com l’exponent al qual cal elevar el factor de reducció, en aquest exemple, el 2, per obtenir de nou la mateixa forma a una escala diferent. En el cas del cub, aquesta dimensió és un nombre enter: 3. Això revela que és una forma amb poca complexitat i, per tant, no és pròpiament un fractal. En canvi, els fractals reals presenten una dimensió que no és un nombre sencer, un indicador directe de la seva complexitat i irregularitat. Com més s’acosta aquest valor a un nombre enter, més “ple” és l’empaquetament d’una forma de dimensió inferior, per exemple, una superfície bidimensional, dins d’un espai de dimensió superior, com un volum tridimensional.
Los fractales en la naturaleza
Los fractales en la naturaleza
El gran atractiu dels fractals és que reprodueixen bastant bé entitats físiques que trobem a la natura. Algunes d'elles, com les ones electromagnètiques, les fem servir contínuament, encara que no siguin visibles. De fet, les propietats dels fractals s'han aplicat al disseny d'objectes tan útils com les antenes receptores dels cotxes o els mòbils. I a més, tenen un indubtable efecte estètic per aquesta combinació d'irregularitat dins d'un patró.
Els humans ens sentim embadalits per les subtils sorpreses que proporcionen diferents interpretacions d'un paisatge musical previsible, prefixat en una partitura de J.S. Bach. Som éssers vius conscients que busquem un control de l'entorn, sense sorpreses que són freqüentment hostils, per exemple, en forma de depredadors o d'accidents. Però apreciem les variacions que enriqueixen la nostra dieta, la dotació genètica dels nostres descendents gràcies a les trobades amoroses amb membres d'altres grups, i en última instància, les nostres vivències i records. De nou, trobem sentit a la combinació entre repetició i raresa que caracteritza la vida, i que hem vingut a anomenar biodiversitat.
Imagen de una línea de costa que ilustra una estructura fractal de la naturaleza, en la cual se repite el patrón de la línea a diferentes escalas. Fuente: Google Earth
Recrear formes de la natura
Recrear formes de la natura
Els fractals han estat àmpliament usats en disseny visual i la seva potència estètica és innegable. A més de formes abstractes que reprodueixen patrons i variacions, ens meravella la seva capacitat de recrear formes que trobem a la natura, com els flocs de neu, les línies de la costa, les ramificacions de les arrels o de les branques dels arbres. Per aquest motiu, els fractals són utilitzats per construir mitjançant algoritmes, paisatges i escenografies en els entorns digitals de les pel·lícules. Són un bell exemple de la connexió entre matemàtiques i natura.
Però una ment racional no es conforma amb contemplar patrons, sinó que s'esforça a comprendre les causes. La ciència es caracteritza per la cerca crítica de la comprensió del món mitjançant la contrastació d'hipòtesis amb observacions empíriques o experimentals. El físic Jorge Wagensberg es va emprar a fons per explicar per què trobem una sèrie de formes geomètriques àmpliament esteses en la natura, com l'esfera, l'hexàgon, l'angle, l'ona, la paràbola, l'espiral, l'hèlix, i els fractals. Segons Wagensberg, les formes fractals representen una manera d'explorar intensivament el medi, en particular per part de les entitats biològiques. Té sentit, però no deixa de ser una explicació descriptiva en la què podem aprofundir una mica més.
El medi no és sempre igual
El medi no és sempre igual
Una de les claus per entendre la presència dels fractals a la natura és que el medi no és homogeni. Si ho fos, la millor forma d'explorar-lo seria un front que aniria avançant regularment ocupant l'entorn. Imaginem una forma inanimada, com un cristall de sal: creix amb autosimilitud a diferents escales en un medi homogeni, però no és un fractal perquè la seva geometria és simple: creix igual en totes direccions per que res l'hi impedeix, mentre hi hagi prou molècules de sal al seu abast.
Vegem un altre exemple biològic, les arrels de les plantes. Apreciem fractalitat en les successives ramificacions que repeteixen el seu patró conforme l'arrel es ramifica i es fa més fina. Ho fa d'aquesta forma perquè les arrels van explorant un mitjà molt heterogeni, com és el sòl. Busquen l'aigua i els nutrients entre els intersticis de les pedres i els grumolls més consolidats del sòl.
La repetició del patró de ramificació i l'autosimilitud fractal apareix perquè la restricció que posa el mitjà al creixement es manté a diferents escales espacials. L'arrel en el seu conjunt pot contemplar el sòl sobre el que creix com una sèrie de zones accessibles plenes de recursos, però estan immerses entre obstacles de pedres i arrels gruixudes. És un panorama similar al contemplat per les arrels fines, només que per a elles les zones amb recursos són mil·limètriques i qualsevol pedreta representa un gran obstacle.
En les parts aèries dels vegetals, les branques també es ramifiquen buscant els serrells de llum. En contraposició, una planta que creix en un medi homogeni, com les que viuen en basses i tolls formen ramells d'arrels totes similars, són poc ramificades: no trobem gaire fractalitat en la seva disposició.
Los fractales se aprecian en las hojas de algunas plantas, en las que se repiten los patrones de las formas a diferentes escales. Fuente: Francisco Lloret
Patrons fractales i ecologia
Patrons fractales i ecologia
Els patrons fractals de la natura en realitat sorgeixen de la tensió entre el medi i el propi objecte fractal: ecologia en estat pur. La autosimilitud entre escales apareix com una resposta comuna a l'heterogeneïtat del medi que manté les seves característiques a diferents escales. Per exemple, la força de l'aigua davant de la resistència de les roques de la costa, la radiació interceptada per les fulles inserides en les branques de la capçada d'un arbre, l'aigua oculta a terra i que és capturada per les arrels. Al seu torn, els éssers vius responen a aquesta heterogeneïtat d'acord amb les seves pròpies limitacions anatòmiques i físiques.
Els patrons de ramificació d'arrels i branques o de creixement de les fulles estan normalment fixats genèticament. Per altra banda, les arrels molt fines s'acaben trencant fàcilment. És a dir, les entitats biològiques tenen constriccions pròpies, físiques o genètiques que fan que no puguin créixer de totes les formes possibles. Aquestes constriccions també es manifesten en la naturalesa històrica dels éssers vius: la forma que adquireix una arrel o una copa d'arbre reflecteix la història del seu creixement. Les ramificacions de primer ordre que veiem en un arbre corresponen a les primeres ramificacions de les tiges de l'arbre, quan pròpiament no s'havia desenvolupat la seva fractalitat.
Paisatge.
Així, en la fractalitat dels éssers vius es recull una instantània del procés de desenvolupament d'aquest ésser. I en aquest procés intervenen molts fets casuals que es donen amb certa probabilitat, és el que anomenem amb una certa estocasticitat. Un passejant que trenca una branca incipient, una rasa que deixa al descobert part d'una arrel o una pedra que es troba a la dreta o a l'esquerra de l'àpex de creixement de l'arrel. Tots aquests esdeveniments allunyen la forma fractal dels éssers vius de la perfecció formal matemàtica. De fet, Mandelbrot, el pare dels fractals, ja feia veure l'interès d'introduir la estocasticitat en l'anàlisi d'aquests objectes geomètrics.
Com veiem, les condicions que generen fractalitat en la naturalesa són relativament restringides. No totes les formes que trobem són fractals, no sempre es produeix aquesta autosimilitud a diferent escala. Les petites variacions en el medi o en la història del creixement dels éssers vius fan que les formes fractals de la natura no siguin perfectes des del punt de vista matemàtic, ni tampoc mantinguin la seva autosimilitud de forma indefinida a qualsevol escala. De fet, una estimació de les variacions en la fractalitat de les formes naturals pot ser un indicador d'anomalies en el manteniment de les forces que generen la forma o de les constriccions que operen al llarg del procés de la seva generació. Una pèrdua de la fractalitat ens pot indicar una disminució de complexitat estructural i una menor resistència davant forces externes. En medicina s'utilitza la mesura de la fractalitat de les cavitats dins de certs ossos per valorar la osteoporosis.
Una eina per estudiar el paisatge
Una eina per estudiar el paisatge
En ecologia s'utilitzen índexos de fractalitat com a mesura de l'estructura d'un paisatge, és a dir, de la "rugositat" de les seves taques, el que està relacionat amb la seva relació perímetre / superfície. Aquesta mesura ens indica la capacitat dels diferents tipus de taques d'interactuar a diferents escales entre si i amb la matriu del paisatge. És a dir, ens parla de l'àrea de contacte a través de la qual es poden produir els diferents fluxos ecològics (matèria, energia, però també dispersió d'organismes).
Paisatge agroforestal en què la seva estructura fractal ens informa de la capacitat d'interactuar entre els diferents tipus de taques. Font: Google Earth
Així, es pot valorar si la colonització d'un bosc en una matriu de camps agrícoles abandonats opera de manera similar al voltant d'una taca o en el conjunt d'un vessant, o si la fragmentació d'un bosc tropical reflecteix una forma jeràrquica, és a dir fractal, la construcció de vies d'accés.
Com és propi de la ciència, el més interessant no és quedar-se atònit davant els patrons que ens brinda la natura, sinó intentar comprendre les seves causes a partir d'una anàlisi racional que contrasta hipòtesis amb observacions i experiments. Sovint, en aquesta indagació les pistes bones apareixen quan es trenquen els patrons, ja que les causes que els ocasionen deixen de funcionar.
Prospectar a quina escala desapareix la fractalitat en la naturalesa ens pot indicar un canvi substancial en les forces que operen en els subjectes ecològics. Analitzar les discrepàncies en la autosimilitud a diferents escales ens parla de les contingències històriques i de la multiplicitat de factors que interaccionen per constituir els sistemes ecològics. En tot cas, els fractals mostren una vegada més l'estreta relació entre les lleis matemàtiques i el funcionament de la natura. Així, l'impacte estètic dels patrons visuals fractals cobra més força amb la seva comprensió.
