Vida de fractal

Para Teresa.

¿Sabías que la naturaleza se organiza siguiendo patrones? Hoy queremos hablarte de los fractales, unas formas que han cautivado a científicos y artistas por igual. Su estética fascinante proviene de una profunda regularidad que se esconde tras un aspecto aparentemente caótico. Aunque su comportamiento ya se había estudiado desde principios del siglo XX, fue Benoît Mandelbrot quien los situó en el centro de la investigación matemática y les dio nombre en 1975. Los fractales se caracterizan por dos propiedades esenciales: la autosimilitud, es decir, la repetición de un mismo patrón a diferentes escalas, y una geometría extremadamente compleja. Esta complejidad puede medirse mediante un indicador llamado dimensión fractal, que nos ayuda a cuantificar hasta qué punto un fractal llena el espacio y cómo varía su estructura según la escala.

Un cubo es un objeto matemático tridimensional que presenta autosimilitud exacta cuando lo observamos a diferentes escalas. Los matemáticos distinguen varios grados de autosimilitud según si esta repetición es más o menos perfecta. En el caso del cubo, si reducimos a la mitad la longitud de cada lado, obtenemos ocho cubos idénticos más pequeños que reproducen exactamente la forma original. Como trabajamos en tres dimensiones, el factor de reducción (2) se eleva a la potencia 3: 2³ = 8, que es el número de subcubos que conforman, de manera autosimilar, el cubo inicial.

La dimensión fractal puede expresarse como el exponente al que hay que elevar el factor de reducción, en este ejemplo el 2, para obtener de nuevo la misma forma a una escala diferente. En el caso del cubo, esta dimensión es un número entero: 3. Esto revela que es una forma con poca complejidad y, por tanto, no es propiamente un fractal. En cambio, los fractales reales presentan una dimensión que no es un número entero, un indicador directo de su complejidad e irregularidad. Cuanto más se acerca este valor a un número entero, más “lleno” es el empaquetamiento de una forma de dimensión inferior —por ejemplo, una superficie bidimensional— dentro de un espacio de dimensión superior, como un volumen tridimensional.

El gran atractivo de los fractales es que reproducen bastante bien entidades físicas que encontramos en la naturaleza. Algunas de ellas, como las ondas electromagnéticas, las usamos continuamente aunque no sean visibles. De hecho, las propiedades de los fractales se han aplicado al diseño de objetos tan útiles como las antenas receptoras de los coches o los móviles. Además, tienen un indudable efecto estético debido a esta combinación de irregularidad dentro de un patrón.

Los humanos nos sentimos embelesados por las sutiles sorpresas que proporcionan diferentes interpretaciones de un paisaje musical previsible, fijado en una partitura de J.S. Bach. Somos seres vivos conscientes que buscamos controlar el entorno, sin sorpresas que a menudo son hostiles, como depredadores o accidentes. Pero apreciamos las variaciones que enriquecen nuestra dieta, la dotación genética de nuestros descendientes gracias a encuentros amorosos con miembros de otros grupos y, en última instancia, nuestras vivencias y recuerdos. De nuevo, encontramos sentido a la combinación entre repetición y rareza que caracteriza la vida y que hemos llamado biodiversidad.

Los fractales han sido ampliamente usados en diseño visual y su potencia estética es innegable. Además de formas abstractas que reproducen patrones y variaciones, nos maravilla su capacidad para recrear formas presentes en la naturaleza, como los copos de nieve, las líneas de costa, las ramificaciones de las raíces o de las ramas de los árboles. Por este motivo, los fractales se utilizan para construir, mediante algoritmos, paisajes y escenografías en los entornos digitales de las películas. Son un bello ejemplo de la conexión entre matemáticas y naturaleza.

Pero una mente racional no se conforma con contemplar patrones, sino que se esfuerza por comprender sus causas. La ciencia se caracteriza por la búsqueda crítica de la comprensión del mundo mediante la contrastación de hipótesis con observaciones empíricas o experimentales. El físico Jorge Wagensberg se dedicó a explicar por qué encontramos una serie de formas geométricas ampliamente extendidas en la naturaleza, como la esfera, el hexágono, el ángulo, la onda, la parábola, la espiral, la hélice y los fractales. Según Wagensberg, las formas fractales representan una manera de explorar intensivamente el medio, en particular por parte de las entidades biológicas. Tiene sentido, pero no deja de ser una explicación descriptiva en la que podemos profundizar un poco más.

Una de las claves para entender la presencia de fractales en la naturaleza es que el medio no es homogéneo. Si lo fuera, la mejor forma de explorarlo sería un frente que avanzara regularmente ocupando el entorno. Imaginemos una forma inanimada, como un cristal de sal: crece con autosimilitud a diferentes escalas en un medio homogéneo, pero no es un fractal porque su geometría es simple: crece igual en todas direcciones porque nada se lo impide, mientras haya suficientes moléculas de sal a su alcance.

Veamos otro ejemplo biológico: las raíces de las plantas. Apreciamos fractalidad en las sucesivas ramificaciones que repiten su patrón conforme la raíz se ramifica y se hace más fina. Lo hace así porque las raíces exploran un medio muy heterogéneo, como es el suelo. Buscan agua y nutrientes entre los intersticios de las piedras y los terrones más compactos del suelo. 

La repetición del patrón de ramificación y la autosimilitud fractal aparece porque la restricción que impone el medio al crecimiento se mantiene a diferentes escalas espaciales. La raíz en su conjunto puede percibir el suelo como una serie de zonas accesibles llenas de recursos, pero inmersas entre obstáculos de piedras y raíces gruesas. Es un panorama similar al de las raíces finas, solo que para ellas las zonas con recursos son milimétricas y cualquier piedrecita representa un gran obstáculo.

En las partes aéreas de las plantas, las ramas también se ramifican buscando los retazos de luz. En contraste, una planta que crece en un medio homogéneo, como las que viven en charcas y estanques, forma manojos de raíces todas similares, poco ramificadas: no encontramos mucha fractalidad en su disposición.

Los patrones fractales de la naturaleza surgen de la tensión entre el medio y el objeto fractal: ecología en estado puro. La autosimilitud entre escalas aparece como una respuesta común a la heterogeneidad del entorno que mantiene sus características a distintas escalas. Por ejemplo, la fuerza del agua frente a la resistencia de las rocas de la costa, la radiación interceptada por las hojas insertadas en las ramas de la copa de un árbol, el agua oculta en el suelo que capturan las raíces. A su vez, los seres vivos responden a esa heterogeneidad según sus propias limitaciones anatómicas y fisiológicas.

Los patrones de ramificación de raíces y ramas o de crecimiento de las hojas están normalmente fijados genéticamente. Por otro lado, las raíces muy finas acaban rompiéndose fácilmente. Es decir, los seres vivos tienen restricciones propias, físicas o genéticas, que hacen que no puedan crecer de todas las maneras posibles. Estas restricciones también se reflejan en la historia del crecimiento: la forma de una raíz o la copa de un árbol refleja la historia de su desarrollo. Las ramificaciones de primer orden que vemos en un árbol corresponden a las primeras ramificaciones cuando aún no se había desarrollado su fractalidad.

Así, la fractalidad de los seres vivos recoge una instantánea del proceso de desarrollo. En este proceso intervienen muchos hechos casuales que ocurren con cierta probabilidad: un paseante que rompe una rama incipiente, una zanja que deja expuesta parte de una raíz, una piedra que se encuentra a la derecha o a la izquierda del ápice de crecimiento. Todos estos eventos alejan la forma fractal de la perfección matemática. De hecho, Mandelbrot ya destacó la importancia de introducir la estocasticidad en el análisis de estos objetos geométricos.

Como vemos, las condiciones que generan fractalidad en la naturaleza son relativamente restringidas. No todas las formas que encontramos son fractales, ni siempre se produce esta autosimilitud a diferente escala. Las pequeñas variaciones en el medio o en la historia del crecimiento de los seres vivos hacen que las formas fractales de la naturaleza no sean perfectas desde el punto de vista matemático, ni mantengan su autosimilitud de forma indefinida a cualquier escala. De hecho, una estimación de las variaciones en la fractalidad de las formas naturales puede ser un indicador de anomalías en el mantenimiento de las fuerzas que generan la forma o de las constricciones que actúan a lo largo del proceso de su generación. Una pérdida de fractalidad puede indicarnos una disminución de la complejidad estructural y una menor resistencia frente a fuerzas externas. En medicina, se utiliza la medida de la fractalidad de las cavidades dentro de ciertos huesos para evaluar la osteoporosis.

En ecología, se usan índices de fractalidad como medida de la estructura del paisaje, es decir, de la “rugosidad” de sus manchas, lo que está relacionado con su relación perímetro/superficie. Esta medida nos indica la capacidad de los diferentes tipos de manchas para interactuar a distintas escalas entre sí y con la matriz del paisaje. Es decir, nos habla del área de contacto a través de la cual pueden producirse los distintos flujos ecológicos (materia, energía, pero también dispersión de organismos).

Así, puede evaluarse si la colonización de un bosque en una matriz de campos agrícolas abandonados opera de manera similar alrededor de una mancha o en el conjunto de una ladera, o si la fragmentación de un bosque tropical refleja una forma jerárquica —es decir, fractal— derivada de la construcción de vías de acceso.

Como es propio de la ciencia, lo más interesante no es quedarse atónito ante los patrones que nos brinda la naturaleza, sino intentar comprender sus causas mediante un análisis racional que contrasta hipótesis con observaciones y experimentos. A menudo, en esta investigación, las buenas pistas aparecen cuando los patrones se rompen, ya que las causas que los generan dejan de funcionar.

Prospectar a qué escala desaparece la fractalidad en la naturaleza puede indicar un cambio sustancial en las fuerzas que actúan sobre los sujetos ecológicos. Analizar las discrepancias en la autosimilitud a distintas escalas nos habla de las contingencias históricas y de la multiplicidad de factores que interactúan en los sistemas ecológicos. En todo caso, los fractales muestran una vez más la estrecha relación entre las leyes matemáticas y el funcionamiento de la naturaleza. Así, el impacto estético de los patrones visuales fractales cobra más fuerza con su comprensión.